La tecnologia ha un ruolo determinante ormai in ogni ambito delle nostre vite e, se da un lato facilitala gestione di numerose situazioni, dall'altro indebolisce alcune nostre capacità che, invece, dovrebbero essere mantenute in esercizio costantemente.
Una delle abilità che risente maggiormente di tale effetto è sicuramente il calcolo mentale, sostituito in gran parte, anche nelle scuole, dall'utilizzo di calcolatrici sempre più potenti, che si possono anche reperire molto facilmente in ogni cellulare che possediamo.
Nonostante sembri passata in secondo piano, l'abilità di calcolo mentale risulta invece ancora utilissima in situazioni di vario tipo.
La freneticità del mondo moderno, infatti, ci costringe a prendere decisioni con una velocità sempre maggiore e, spesso, ricorrere alle tecnologie che possediamo risulta essere meno
efficiente rispetto all'uso personale di tecniche più rapide per rispondere ai vari stimoli.
Non sempre, inoltre, abbiamo a disposizione uno strumento tecnologico che possa risolvere qualunque problema ci si pone davanti.
Infine, in varie situazioni non è necessario conoscere con precisione assoluta il risultato di un calcolo, ma è richiesta soltanto una stima del valore di una grandezza: questo tipo di lavoro è svolto decisamente meglio da un cervello allenato a ragionare piuttosto che da una macchina.
Ecco perché mantenere in esercizio le facoltà di calcolo ci può aiutare notevolmente.
Non è assolutamente necessario, come spesso si può pensare, spendere una quantità irragionevole di tempo per migliorare, oppure avere la consapevolezza che solo essendo particolarmente portati per il calcolo mentale si possano ottenere dei risultati: con alcune piccole accortezze, infatti, possiamo tranquillamente gestire al meglio situazioni che sembrano complesse.
La chiave per trarre il massimo dalla matematica è quella di sfruttare le proprietà più comuni delle operazioni matematiche più note, al fine di eseguire i calcoli che ci servono efficientemente.
Questione di ordini di grandezza
Spesso non ci interessa trovare un risultato di un calcolo o di una misura con precisione notevole, ma è sufficiente stimare un numero fornendo il suo ordine di grandezza, ossia la potenza di dieci alla quale il numero si avvicina maggiormente.
Se, a titolo di esempio, per l'acquisto di un'automobile usata valutiamola quantità di chilometri già percorsi da essa, non interessa conoscere il valore preciso, ma semplicemente
se la grandezza si aggira attorno ai mille, diecimila o centomila chilometri, per avere un'idea migliore della vita residua dell'auto.
Una stima simile si adotta, con differenti unità di grandezza, in molte situazioni. Stimare, alle casse di un supermercato, quale coda sia la migliore da scegliere è un esercizio complesso, che richiede conoscenze ed abilità da applicare in un tempo minimo; tra queste, un rapido conteggio del numero di persone presenti nelle varie code ci può decisamente aiutare. Chiaramente questa operazione ci darà una stima sommaria di tale numero, che ci porterà a scegliere la cassa che secondo noi potrà essere raggiunta nel minor tempo possibile.
Proprietà numeriche
Per quanto riguarda il vero e proprio calcolo mentale, sfruttare a nostro vantaggio le proprietà delle operazioni fondamentali imparate a scuola ci può fornire una grande mano.
Proprietà commutativa, per moltiplicazione e addizione: l'ordine non ha importanza.
Questo processo è importante, per esempio, nel calcolo con le percentuali: calcolare il 38% di 50 e sapere che esso coincide con il 50% di 38 (cioè 19, perché è la metà di 38) è decisivo!
Proprietà associativa, per moltiplicazione ed addizione: eseguire calcoli multipli sfruttando le decine perfette è la via più rapida.
Per esempio, per svolgere 7+8+3 è conveniente prima effettuare 7+3=10 e poi sommare 8 per ottenere 18. Lo stesso vale per le moltiplicazioni: 6x9x5 si svolge in poco tempo se prima
si nota che 6x5=30 ed infine 30x9=270 (gli zeri a destra dei numeri in una moltiplicazione possono essere tolti e poi rimessi, eseguendo 3x9=27 e aggiungendo zero).
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto ad addizione e sottrazione: spezzare in modo adeguato in due addendi un fattore di una moltiplicazione consente di ottenere ottimi risultati.
Per esempio, in 24x12, spezzando 12 nella somma 10+2, eseguiamo prima 24x10 (240) e poi 24x2 (48), sommando poi i risultati e ottenendo 288.
Lo stesso vale per le sottrazioni: 16x19 può diventare semplice vedendo 19 come (20-1). Infatti 16x20=320
(come prima, 16x2=32 e poi aggiungiamo lo zero) e 16x1=16; dopodiché 320-16=304.
Proprietà invariantiva 1: durante una sottrazione, possiamo aggiugere o togliere la stessa quantità ad entrambi i numeri. E' una proprietà poco utilizzata, ma estremamente utile.
Per esempio, per eseguire 73-57 possiamo pensare di aggiungere 3 ad entrambi i numeri, per avere il secondo numero che termina per zero, ottenendo 76-60 che faclimente fa 16.
Proprietà invariantiva 2: durante una divisione, possiamo moltiplicare o dividere la stessa quantità ad entrambi i numeri. E' una proprietà molto utilizzata, durante la semplificazione di frazioni, ma non riconosciuta come tale. Sappiamo che 6/4 diventa 3/2 semplificando il numeratore ed il denominatore per 2: ciò è possibile per questa proprietà.
Ma pochi sanno che tale regola si può utilizzare anche al contrario, moltiplicando i due numeri!
Questo è estremamente utile nel caso in cui si debba dividere per 5 un numero: moltiplicando per 2 tutto si ottiene una divisione per 10! Per esempio, nel calcolo 64:5 (o 64/5) possiamo moltiplicare entrambi i numeri per 2, ottenendo 128:10 che diventa immediatamente 12,8.
Criteri di divisibilità e divisioni a una cifra
Durante una cena si conviene di dividere il conto alla romana e i commensali sono al
massimo 9?
Rapide tecniche di calcolo consentono una divisione precisa, anche quando non ci sono altri strumenti a disposizione.
Ecco alcune di queste scorciatoie.
Dividere per 2 si può effettuare precisamente se l'ultima cifra del numero è pari, altrimenti il risultato avrà un 5 dopo la virgola. Similmente accade per le sue potenze (4 e 8), per le quali la divisione è perfetta se rispettivamente le ultime 2 o 3 cifre formano un numero divisibile per 4 e 8. Le cifre decimali, in caso di divisione non perfetta, saranno sempre finite e saranno:
25; ,5, ,75 per le divisioni per 4
125; ,25; ,375; ,5; ,625; ,75; ,875 per le divisioni per 8.
Un numero è divisibile per 5 se termina per 5 o per zero; altrimenti la parte decimale, finita, sarà sempre costituita, a seconda del resto, da:
2; ,4; ,6; ,8.
Se il numero termina per 0 allora è divisibile facilmente per 10.
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. Se questa somma supera di 1 un multiplo di 3, la parte decimale sarà periodica e conterrà solo cifre 3 dopo la virgola, mentre se supera di 2 un multiplo di 3, la parte decimale periodica conterrà solo cifre 6.
Ad esempio, 92:3 non è preciso perché 9+2=11; poiché 11 supera di 2 il numero 9, la parte decimale del numero conterrà solo 6. Difatti 92:3=30,6666....
Se la somma delle cifre è multipla di 9, allora il numero sarà divisibile per 9. Anche qua, in caso di divisione non precisa, la parte decimale sarà illimitata periodica, con ripetizione della stessa cifra che rappresenta il resto della divisione. Per esempio, 92:9=8,4444..... dal momento che il resto della divisione è 4.
Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibiler per 2 e per 3. In caso contrario, sempre a
seconda del resto ottenuto, la parte decimale conterrà le cifre:
1666...; ,3333...; ,5; ,6666....; ,833333.
Un numero è divisibile per 7 se la sottrazione tra il doppio dell'ultima cifra e il resto del numero è un multiplo di 7. Per esempio, 154 è multiplo di 7 perché sottraendo il doppio dell'ultima cifra (4x2=8) con il resto del numero (15) si ottiene -7 (il segno non ha importanza). Eventualmente il processo si ripete finché non si ottiene un numero semplice.
Nel caso in cui il numero non sia divisibile per 7, la parte decimale è periodica, con le cifre che seguono sempre l'ordine seguente: ,142857. La cifra da cui parte la parte decimale dipende dal resto della divisione.
Infine, anche se non rientra tra le divisioni ad una cifra, una veloce regola riguarda le divisioni per 11: un numero è divisibile per 11 se la somma delle cifre di posto pari è uguale alla somma delle cifre di posto dispari.
Ad esempio, 27643 è divisibile per 11 perché 2+6+3 (la somma della prima, terza e quinta cifra) è uguale a 7+4 (la somma della seconda e della quarta cifra).
Elevamenti al quadrato
Per concludere, è possibile elevare velocemente al quadrato i numeri che terminano per 5. Vediamo come in un
esempio.
35 al quadrato: è sufficiente moltiplicare il 3 per il numero che lo segue nell'ordine naturale dei numeri (4),
ottenendo 12, e poi aggiungere 25 (cioè il quadrato di 5) in fondo: si ha 1225.
65 al quadrato: poiché 6x7=42, si ha 4225.
125 al quadrato: dato che 12x13=(12x10)+(12x3)=120+36=156, il quadrato fornisce come risultato 15625.