Il teorema di Euclide

L'importanza dei Teoremi di Euclide

I teoremi di Euclide giocano un ruolo importantissimo all’interno della geometria. Tali teoremi permettono di stabilire importanti relazioni tra alcuni segmenti notevoli di un triangolo rettangolo. Il primo teorema, inoltre, fornisce un metodo rapido per dimostrare il teorema di Pitagora.

Tra i matematici che hanno contribuito con i loro teoremi fondamentali della geometria piana, nella Grecia antica, Euclide occupa un ruolo molto importante!

Prima però di enunciare i due risultati, è necessario capire cosa si intende con l’espressione “proiezione dei cateti sull'ipotenusa”.

Prendiamo un triangolo rettangolo ABC, retto in A, e tracciamo l’altezza relativa all'ipotenusa. Chiamiamo il suo piede H. Questo punto divide l’ipotenusa in due segmenti, che chiamiamo CH e HB:

• CH è la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa

• HB è la proiezione del cateto AB sull’ipotenusa

La somma delle misure delle proiezioni dei due cateti con l’ipotenusa coincide con l’ipotenusa stessa.

Primo Teorema di Euclide

“In un triangolo rettangolo ABC, retto in A, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa”.

Il teorema mette in relazione tre elementi del triangolo: l’ipotenusa, un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa.

Formule del Teorema di Euclide

AB2=BH·BC

AB2 è la misura dell’area del quadrato costruito sul cateto minore, mentre BH·BC è l’area del rettangolo che ha per dimensioni la proiezione BH e l’ipotenusa del triangolo BC.

Possiamo dare l’enunciato del primo teorema di Euclide anche nel seguente modo: “In un triangolo rettangolo, un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e l’altezza relativa all’ipotenusa”, perché:

AB·AB=BH·BC
AB:BH=BC:AB
BH:AB=AB:BC

Secondo Teorema di Euclide

Il secondo teorema ci dà le relazioni che legano l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo con le proiezioni.

“In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa”.

AH2=BH·HC

Come nel caso del primo teorema, possiamo esprimere anche il secondo attraverso una proposizione:

“In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è il medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa”.

BH:AH=AH:HC